市检向 同级或者上一级人民检察院抗诉。

地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，认为符合抗诉条件的，应当提请上一级人民检察院抗诉。有权直接作出抗诉决定的是最高人民检察院和作出生效裁判的人民法院的上级人民检察院。地方各级人民检察院对于同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，只能提请上一级人民检察院抗诉。作出抗诉决定的人民检察院应当向其同级人民法院提出抗诉。

因此，如果你认为某市中级人民法院作出的生效民事判决、裁定存在法定抗诉事由，你可以向 省人民检察院或者最高人民检察院提出抗诉。如果你向市检察院申请抗诉，市检察院也可以移交民事行政检察处办理。

建议你在申请抗诉前，先咨询专业律师，了解具体的抗诉程序和所需材料，以确保抗诉的顺利进行。