求二次型的规范型需要遵循以下步骤：
确定正负惯性指数
正惯性指数：正特征值的个数。
负惯性指数：负特征值的个数。
规范型中1的个数等于正惯性指数，-1的个数等于负惯性指数，0的个数等于二次型的秩减去正负惯性指数之和。
将二次型对角化
对于实对称矩阵，可以通过正交变换将其对角化。即存在正交矩阵Q，使得$Q^T A Q$为对角矩阵。
对角矩阵的对角元素即为原二次型的特征值。
构造规范型
将对角矩阵中的特征值按照1, -1, 0的顺序排列，得到规范型。
如果特征值中有0，则0的个数等于二次型的秩减去正负惯性指数之和。
示例
假设有一个二次型矩阵$A$，其特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，其中$\lambda_1 > 0, \lambda_2 < 0 xss=removed>
确定正负惯性指数
正惯性指数：1（因为$\lambda_1 > 0$）
负惯性指数：1（因为$\lambda_2 < 0>
秩：3（因为有三个特征值）
对角化
找到正交矩阵$Q$，使得$Q^T A Q$为对角矩阵$\Lambda$，其中$\Lambda = \text{diag}（\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3）$。
构造规范型
将对角矩阵$\Lambda$中的特征值按照1, -1, 0的顺序排列，得到规范型$y_1^2 - y_2^2$（因为$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 0$）。
通过以上步骤，我们可以求得二次型的规范型。规范型唯一，且系数只有1, -1和0。
