烟道的管理涉及多个部门，具体如下：

环保部门：

依据《中华人民共和国大气污染防治法》第一百一十八条，环保部门负责监督餐饮服务业经营者安装和使用油烟净化设施，并对违反排放标准的违法行为进行处罚。

住建局和房管局：

这些部门负责监管公共建筑和共用设施，包括烟道，确保其按照规划用途使用。私自改烟道的行为违反了相关法规，可以向这些部门投诉。

物业公司：

物业公司在物业服务合同范围内负责烟道的维修和管理。如果业主私自改造烟道导致不通畅，物业需承担一定监管责任。

街道办：

街道办也参与烟道的管理，可以协助处理相关投诉和违规行为。

城管部门：

城管部门负责城市事务管理及行政执法，对私改烟道等违规行为具有监督及处罚权。

综上所述，烟道的管理涉及环保、住建、房管、物业、街道和城管等多个部门。具体投诉或处理时，可以根据实际情况选择合适的部门进行咨询和投诉。